等仿射面積（equiaffine area）

一般的仿射映射會打亂普通面積——把一塊區域拉寬成兩倍，它的面積就加倍。但如果你把容許的映射限制為既不放大也不縮小面積的那些，一個新的不變量就出現了：面積本身重新變得有意義。等仿射幾何就是把仿射幾何收窄到保面積映射，而等仿射面積就是這個收窄後的幾何所能度量的面積概念。

機制如下。仿射映射 (x, y) -> A 乘以 (x, y) 再加平移，會把每塊面積乘上 A 的行列式之絕對值。所以面積一般不是仿射不變量，因為行列式可以是任意非零數。把映射限制為矩陣行列式等於 +1 或 −1 的仿射映射——即等仿射群或單模仿射群——此時每個映射都讓面積完全保持原樣。在這個較小的群之下，一塊區域的面積、以及兩塊區域的面積之比，都成為真正的不變量，儘管長度與角仍無意義。這正是「仿射映射保持面積之比」這較簡單說法為真的精確意涵：一般的仿射映射把每塊面積乘上相同的因子，所以即使每塊面積各自改變，兩塊面積之比仍不變。

等仿射面積是這類問題的自然量尺：形狀無關緊要、但區域的多寡要緊、而你又沒有單位長度的概念——例如比較內接三角形與其外圍橢圓的面積，這個比值對每個橢圓都相同，因為任何橢圓都是圓的仿射像。它在塔中恰位於普通仿射幾何之下，加回面積這個單一不變量。要小心的是別把它與歐氏面積混為一談：等仿射面積沒有固定單位，它只比較區域，所以它能告訴你一塊區域是另一塊的兩倍，卻永遠不會告訴你某區域是「5 平方公分」。