仿射變換（affine transformation）

仿射變換是把線性扭曲與平移結合在一起的單一動作。想像拿一張有彈性的方格紙，只要保持格線筆直、平行格線維持平行，你愛怎麼拉伸、剪切都行，然後把整張紙在桌上滑過去。這個合起來的效果——先線性扭曲、再平移——就是仿射變換。它是永遠把直線送成直線、使平行線維持平行的最一般映射。

用座標寫出來，規則有乾淨的形狀。平面的仿射變換把點 (x, y) 送到 A 乘以行向量 (x, y) 再加上一個固定的平移向量，其中 A 是可逆的 2 乘 2 矩陣，平移向量負責那一步平移。寫開來，(x, y) 映到 (a x + b y + e, c x + d y + f)，其中矩陣 [a, b; c, d] 須有非零行列式，映射才能被還原。矩陣部分使各方向彎折與縮放；向量部分把一切整體搬動而不扭曲。由於矩陣允許不等地縮放並剪切，仿射變換一般會改變長度與角，但它永遠保持三樣東西：共線性、平行性、以及一點沿線分一線段所成的比。其內含兩個特殊家族：相似變換（矩陣是縮放乘旋轉或反射）與剛體運動（矩陣是純旋轉或反射）。

仿射變換是仿射幾何的工作工具，在應用中無處不在：電腦繪圖用它們在單一矩陣步驟中旋轉、縮放、剪切、重新定位影像；它們關聯由直軸建立的任意兩個座標系。一個對證明有用的事實是：平面的仿射映射完全由它把任意三個不共線點送到哪裡所決定——固定三角形三頂點的像，整個映射就被釘死。常見的陷阱是以為仿射映射保持角或形狀；只有較窄的相似變換才如此，而一般的仿射映射會把圓變成橢圓。