直射變換（collineation）
想像用幻燈機把畫面投到一面傾斜的螢幕上，或從某個角度替一幅平面畫拍照：直線仍是直的，但長度、角度與比例都被拉伸扭曲了。直射變換正是射影平面這類變換的精確名稱——一個把點映到點（並把線映到線）、且把直線送到直線的一對一映射。它恰是射影幾何視為「容許」的那一族運動，是其定理在其下保持不變的對稱。
具體地說，實射影平面的直射變換在齊次座標中由一個可逆的 3 乘 3 矩陣 M 給出：點 (x : y : z) 映到 M 乘以行向量 (x, y, z)，且仍至多差一尺度。因為矩陣乘法把一個線性方程式的解送到另一個的解，故線映到線、接合被保留——若一點原在某線上，其像也在像線上。這樣的映射能把無窮遠線移到一條普通線，這正是直射變換為何能把平行線變成相交線（幻燈機把地平線傾入眼前）。最重要的事實是它保留什麼：直射變換使任意共線四點的交比不變。故交比、調和共軛、以及「是圓錐曲線」都倖存，而距離、角度、平行性與中點一般不然。
直射變換構成一個群（你能複合兩個、也能反轉任一個），而那個群恰是其不變量「就是」射影幾何的變換群，符合克萊因分類的精神。射影幾何基本定理把它們釘死：實射影平面的直射變換由它把四個一般位置的點送到何處所決定，反之任意四個一般位置的點都能被映到任意另外四個。一個誠實的微妙處：在實數上每個保線雙射都是上述矩陣形式，但在具有非平凡自同構的體（如複數）上還有額外的「半線性」直射變換，故「直射變換＝矩陣」這個乾淨的說法是實數所獨有的。
矩陣 M 各列為 (1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(1, 0, 1)，把 (x : y : z) 送到 (x : y : x + z)。普通點 (1 : 0 : 1) 變為 (1 : 0 : 2) = (1/2 : 0 : 1)。無窮遠點 (1 : 0 : 0)（斜率 0 方向）映到 (1 : 0 : 1)，一個普通點——故此直射變換把一個無窮遠點拉入有限平面內，正是透視傾斜所做的事。
作用於齊次座標的可逆 3 乘 3 矩陣：直線與交比倖存，距離不然。
直射變換保留交比，但不保留距離、角度、面積、平行性或中點——那些是更精細的（仿射／歐氏）概念。在實平面上每個直射變換都是矩陣映射（即「射影變換」），但在別的體上也會出現半線性映射，故在完全一般的情形下「直射變換」略比「射影矩陣變換」廣。