射影幾何基本定理（fundamental theorem of projective geometry）

一個射影變換有多少自由度？要完全指定一個又需知道多少？射影幾何基本定理為線與平面給出乾淨的答案，正是這個結果讓射影變換真正可用：它說這些變換剛好剛硬到恰當的程度——由少數而尖銳的點所釘住。

在射影線上，陳述是：恰有唯一一個射影對應，把任意三個相異點送到任意三個相異點。三進三出，映射在別處便被逼定——特別是它必使任意第四點與這三點的交比保持不變。在射影平面上，對應的陳述是：給定任意四個一般位置的點（任三點不共線）與任意另外四個一般位置的點，恰有唯一一個直射變換依序把前四個送到後四個。故平面直射變換擁有四個點的自由度，多一分都沒有。其證明歸結為齊次座標中的線性代數：選定四個適當獨立的點映到何處，便把 3 乘 3 矩陣固定到至多差一個無害的整體尺度。

此定理是整門學科的骨幹。它告訴你交比是線上的完全不變量（兩組四點射影上相同，恰當其交比相等），它支撐史坦納對圓錐曲線的射影定義，並保證射影幾何的作圖良好定義。一個誠實的限定，與糾纏直射變換的相同：如所陳述的定理——每個保交比的映射都是矩陣射影對應——在實數上為真，但在具有額外自同構的體（例如複數）上，還須容許「半線性」映射。故定理最尖銳的形式是對實（或有理）射影空間陳述的；這不是缺陷，而是精確指明乾淨圖像所在之處。