傅立葉級數（Fourier series）

傅立葉級數告訴我們：任何週期訊號，不論多麼鋸齒崎嶇，都能由一堆純正弦與餘弦波堆疊而成，這些波的頻率是基頻的整數倍（諧波）。想像一台合成器：按住一個音，再以恰當的比例加入它的第 2、3、4 諧波，你就能模仿小提琴、方波或小號。傅立葉在 1807 年震驚了數學界，他主張連有尖角的方波，骨子裡都是平滑正弦波的總和。

各項係數告訴你每個諧波「有多少」——這就是訊號的頻譜，也就是它在頻域裡的配方。例如方波只含奇次諧波（第 1、3、5……），振幅以 1/n 衰減，這正是蜂鳴器聽起來既刺耳又明亮的原因。最關鍵的是，這是一個入門的鑰匙概念：它揭示了訊號既能以時間中的形狀存在，也能以一組頻率成分存在，而在這兩種觀點間切換，正是訊號處理的核心。