離散外微分（discrete exterior calculus）
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流形上的光滑微積分由微分形式、外微分 d 與霍奇星算子建構而成——這是 grad、curl、div 與斯托克斯定理背後的機器。離散外微分在網格上重建這同一套機器，把形式換成存在網格元件上的數字。口號是：k 形式是你拿去在 k 維塊上積分的東西，所以在網格上，就替每個 k 胞腔存下那個積分的值。形式變成上鏈，而整套裝置變成精確的線性代數。
運作方式如下。在單純複形上，離散 k 形式是一個上鏈：給每個有向 k 維單純形指派一個實數（0 形式每頂點一值，1 形式每邊一值，2 形式每三角形一值）。離散外微分 d 是上邊界算子，即邊界算子的轉置：(d omega)(sigma) = 對 sigma 的各面求和 omega，符號由定向決定。因為邊界的邊界為零，所以 d 接 d 自動為零——斯托克斯定理依建構精確成立，而非近似成立：d omega 在一條鏈上的積分等於 omega 在其邊界上的積分，這裡不過是上鏈與鏈的配對。要把這個無度量的上半部變成真正的向量微積分，你加上離散霍奇星算子，它把原始網格上的 k 形式映到對偶網格上的 (n-k) 形式，而這是幾何（邊長、面積、餘切權重）唯一進入之處。
離散外微分之所以重要，是因為它給出保結構的數值方法：依建構即滿足 d-d = 0、斯托克斯與霍奇分解之離散版本的格式，於是守恆量保持守恆、偽模態被避免——這在電磁學、流體模擬與幾何處理中極為寶貴。它與有限元外微分及惠特尼形式密切相關，後者提供使兩種觀點一致的插值基。誠實的提醒：拓樸的那一半（d 作為上邊界）是典範且精確的，但度量的那一半（霍奇星）是一個建模選擇——對角的「外心式」霍奇星需要良心化（well-centered）或德勞內網格才能保持為正，而一個糟糕的星算子即使 d-d = 0 仍完美成立，也可能毀掉精度。
把網格上的一個向量場編碼為離散 1 形式：在每條邊上存下該場沿這條邊的積分（環流）。那麼這個 1 形式的離散 d 是一個 2 形式，其在每個三角形上的值是沿其邊界三條邊的環流之和——即離散旋度。而 d-d = 0 說再取一次 d（到 3 形式）會消失，這正是 curl of grad = 0 與 div of curl = 0 的精確離散恆等式。
把形式存在胞腔上使 d 變成帶號邊界求和，而 d-d=0 成為一個精確的組合事實。
離散外微分乾淨地分成一個典範的拓樸部分與一個選定的度量部分：上邊界 d 是被迫的，並精確給出 d-d = 0，但霍奇星是一個建模決定。對角的外心式星算子需要德勞內／良心化網格才能保持正定，所以精度是星算子的性質，而非那些精確結構恆等式的性質。