達朗貝爾算符（d'Alembertian）
/ dah-lahm-BEHR-see-an /
拉普拉斯算符（梯度的散度）是靜態、純空間問題的自然二階導數算符。當時間與空間平起平坐時，它的相對論對應物就是達朗貝爾算符——勞侖茲不變的波動算符，它作用在一個場上為零，恰恰陳述了「這個場以光速像波一樣傳播」。
達朗貝爾算符是四維梯度與自身的縮併：box = partial_mu partial^mu = (1/c^2) partial^2/partial t^2 - nabla^2（標記 +,-,-,-；某些作者以相反的整體符號定義）。它是一個勞侖茲純量算符——在每個慣性系中都有相同形式。自由波動方程式為 box phi = 0，即 (1/c^2) partial^2 phi/partial t^2 = nabla^2 phi，其解以 c 行進。加上源項它成為 box phi = (rho/epsilon_0) 一類的方程式；加上質量項則給出克萊因-戈登（Klein-Gordon）方程式 (box + (mc/hbar)^2) phi = 0。
達朗貝爾算符是波動物理與相對論交會之處。馬克士威方程組在勞侖次規範下塌縮為 box A^mu = mu_0 J^mu——四維勢的每個分量都遵守一個帶源的波動方程式——使電磁波及其速度 c 一目了然。它的格林函數就是推遲勢，蘊含了場沿光錐向外傳播。要注意：符號約定隨度規標記而定，所以 box 在不同書中會寫成 (1/c^2) partial_t^2 - nabla^2 或 nabla^2 - (1/c^2) partial_t^2；先固定你的標記。用「box（方框）」這個符號，正因為它是拉普拉斯算符的時空（四維）類比。
把平面波 exp(i(k·x - omega t)) 代入 box phi = 0 給出 -(omega^2/c^2) + |k|^2 = 0，即 omega = c|k|——光錐／無質量色散關係，四維上完全自洽。
達朗貝爾算符以單一算符蘊含了「波以 c 行進」的色散關係。
不要把達朗貝爾算符（帶負號、因而在光錐上有雙曲、波動型的解）與四維拉普拉斯算符（全正號、橢圓型）混為一談。使它成為波動算符而非平滑算符的，正是不定的閔可夫斯基標記。