四維梯度／四梯度（four-gradient）
一般的梯度把三個空間導數打包成一個指向上坡的向量。相對論需要一個也把時間導數納入、並在推進下正確變換的版本。四維梯度就是那個算符——把純量場變成四維向量、並讓你能協變地寫下守恆律與波動方程式的時空導數。
四維梯度為 partial_mu = partial/partial x^mu = ((1/c) partial/partial t, partial/partial x, partial/partial y, partial/partial z)。一個微妙處：對逆變座標 x^mu 微分會產生一個協變（下指標）物件——這就是為什麼 partial_mu 自然帶下指標，而其逆變版本 partial^mu = eta^munu partial_nu = ((1/c) partial/partial t, -partial/partial x, ...) 的空間符號相反。作用於純量場 phi，它給出一個真正的四維向量 partial_mu phi；與一個四維向量場縮併，則給出不變的散度 partial_mu A^mu = (1/c) partial A^0/partial t + div(A_空間)。
四維梯度使物理明顯協變。連續性方程式化簡為 partial_mu J^mu = 0（電荷守恆）；勞侖次（Lorenz）規範條件為 partial_mu A^mu = 0；而四維梯度與自身縮併便給出達朗貝爾波動算符。要注意：指標位置是常見的陷阱——partial_mu（對 x^mu 的導數）是下指標／協變的，即使它「看起來」該與 x^mu 的上指標匹配；把空間部分的符號弄清楚（它在 partial_mu 與 partial^mu 之間翻轉）至關重要。
對於平面波 phi = exp(-i k_mu x^mu)，其中 k^mu = (omega/c, k_向量)，四維梯度把波四維向量帶下來：partial_mu phi = -i k_mu phi。無質量場的色散關係 k_mu k^mu = 0，於是就只是 k^mu 上的光錐條件。
四維梯度把平面波場轉換成它的波四維向量。
當心符號約定：在 (+,-,-,-) 標記下，partial_mu 帶正的空間導數，partial^mu 帶負的空間導數。時間分量保持符號不變，因為 eta^00 = +1。