累積量（cumulants）

動差回答「X^k 的平均是多少」，但它們描述的是單一分布，在你相加變數時會糾纏成一團。累積量是另一組描述性數字——kappa_1、kappa_2、kappa_3, ...——被設計成擁有一個動差所缺乏的美麗性質：在相加獨立變數時，累積量單純地相加。它們是為「組合」而生的形狀摘要。

具體地說，累積量是累積量母函數冪級數裡的係數：K_X(t) = log E[e^(tX)] = kappa_1 t + kappa_2 t^2/2! + kappa_3 t^3/3! + ...。前幾個是穿著新名字的熟悉量：kappa_1 = E[X] 是均值，kappa_2 = Var(X) 是變異數，kappa_3 = E[(X - mu)^3] 是第三中心動差（除以 sigma^3 後給出偏態），kappa_4 與峰態有關。招牌性質是可加性：若 X 與 Y 獨立，則對每個 n，kappa_n(X + Y) = kappa_n(X) + kappa_n(Y)。所以和的均值是均值之和，和的變異數是變異數之和，而這種乾淨的相加沿著整道階梯一路延續。

累積量最重要之處，在於它讓常態分布的特殊角色變得一目了然。常態正是那個第二階以後累積量全為零的分布，所以 kappa_3、kappa_4、kappa_5, ... 精確地衡量一個分布偏離常態有多遠。當你平均許多獨立變數並重新縮放，平均的較高階累積量會朝零縮小，而頭兩個存活下來——而一個只有頭兩個累積量的分布就是常態。這就是用累積量之眼看中央極限定理為何成立。一貫的提醒成立：若對應的動差發散，超過某階的累積量可能不存在。