晶體學限制定理（crystallographic restriction theorem）

試著用正五邊形去鋪滿浴室地板，你辦不到，不是留縫就是重疊。同樣頑固的事實也主宰著晶體：一個在各個方向都完美重複的圖案（晶格），只能承載階數為 1、2、3、4、6 的旋轉軸。五重、七重、八重以上，對週期性晶體而言根本不可能。這就是晶體學限制定理。

這裡給出簡短的證明，只用基本算術。取一排間距為 a 的晶格點。若晶格有一根 n 重軸，把相鄰點轉過角度 alpha = 360/n、以及轉過 -alpha，都必須落在別的晶格點上，而這些點又必須位在同一排、距離是間距的某個整數倍 m。幾何上這逼出 2 cos(alpha) = m，一個整數。由於餘弦介於 -1 與 +1 之間，m 只能是 -2、-1、0、1、2。解 2 cos(alpha) = m 得到 alpha = 180、120、90、60 或 360 度，也就是 n = 2、3、4、6、1。至於五重，alpha = 72 度，2 cos(72) = 0.618，不是整數，因此被排除。

這個定理正是「布拉維晶格有 14 種、點群有 32 個、空間群有 230 個」之所以有限且封閉的原因。它也解釋了 1984 年的震撼：謝赫特曼（Shechtman）在鋁錳合金上量到銳利的十重繞射，這對週期性晶體是被禁止的。答案是準晶：它完美有序卻不具週期性，所以這個定理根本不適用於它。這定理約束的是週期性晶體，而非一切有序物質。