解析函數與柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程作為必要條件
這是柯西-黎曼故事中較容易的一半：若 f 在某點複可微，則其實部與虛部在該點必滿足 u_x = v_y 與 u_y = -v_x。「必要」一詞意味著這些方程是不可避免的後果——它們是每個可微函數都必須通過的檢驗。
證明只是沿兩個方向計算差商。既然極限 f'(z_0) 存在，任何趨近 z_0 的方式都必須給出相同值。水平趨近（z = z_0 + h，h 為實數且 h -> 0）得 f'(z_0) = u_x + i v_x。垂直趨近（z = z_0 + i k，k 為實數且 k -> 0，分母中的步長為 i k）得 f'(z_0) = (u_y + i v_y)/i = v_y - i u_y。令兩式相等並比對實虛部，得 u_x = v_y 與 v_x = -u_y。
作為檢驗工具，必要條件是「證明某函數不解析」的捷徑：只要找出一點使柯西-黎曼方程不成立即可。例如 f(z) = z-bar 有 u = x、v = -y，故 u_x = 1 但 v_y = -1；方程處處失敗，故 z-bar 處處不可微。但此條件本身無法證明函數「是」可微的——那需要充分條件。
檢驗 f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2（故 u = x^2 + y^2，v = 0）：u_x = 2x 須等於 v_y = 0，迫使 x = 0；u_y = 2y 須等於 -v_x = 0，迫使 y = 0。柯西-黎曼方程僅在 z = 0 成立，故 |z|^2 除原點外處處不可微。
必要性給出快速反證：找一點使柯西-黎曼方程失敗，該處可微便被否決。
必要性是單向的：柯西-黎曼方程在某點成立，f 在該點仍可能不可微，故這一半本身永遠無法確證解析性。
又称
另见