解析函數與柯西-黎曼方程
可微的充分條件
柯西-黎曼方程是必要的，但單憑它們還不足以保證複導數存在。充分條件補上了缺口：若四個偏導數 u_x、u_y、v_x、v_y 在某點附近存在且「連續」，且在該點滿足 u_x = v_y、u_y = -v_x，則 f 在該點複可微。偏導數的連續性（等價地，(u, v) 的實可微性）正是缺少的成分。
為何要這個額外假設？實可微意味著 f(z) - f(z_0) 能被位移的單一線性映射良好逼近（誤差比步長更快地消失），而不僅是沿各軸的方向極限恰好一致。柯西-黎曼方程接著把這個線性映射升級為旋轉-縮放，即乘以一個複數，這恰是複導數。偏導數連續是一種乾淨、可檢驗的方式，確保實線性逼近確實存在。
這個假設並非吹毛求疵——教科書中確有偏導數存在且柯西-黎曼方程在單一點成立、卻無複導數的函數，原因是偏導數極不連續。實務上這幾乎從不發生：凡由 z 經加、乘、除（避開零點）與複合構成的函數，其偏導數自動連續，故只要柯西-黎曼方程成立你就安然可微。
對 f(z) = e^x cos y + i e^x sin y（即 e^z）：u = e^x cos y，v = e^x sin y。偏導數 u_x = e^x cos y = v_y 與 u_y = -e^x sin y = -v_x 處處連續且柯西-黎曼方程成立，故 e^z 處處可微，導數為 u_x + i v_x = e^z。
連續偏導數加上柯西-黎曼方程，是檢驗複可微的完整且實用的判準。
單憑柯西-黎曼方程並不充分：Looman-Menchoff 定理可大幅減弱「偏導數連續」的要求，但天真的「某點柯西-黎曼方程成立即可微」是錯的。偏導數連續是安全、標準的假設。
又称
另见