哈納克不等式（Harnack's inequality）
/ HAR-nahk /
一個正的調和函數——想像處處高於某基準線的溫度分布，或從不變負的位勢——不會亂跑。哈納克不等式正是這種馴服性的精確陳述：在任何安全地位於區域內部的子區域上，一個正調和函數的最大值受其最小值的某固定倍數所控制。光憑正性就禁止該函數在一處巨大、在相鄰一處微小。
在單位圓盤上，一個乾淨的版本直接來自帕松核。若 u 在圓盤上調和且為正，z = r e^(i theta) 且 |z| = r，則 ((1 - r) / (1 + r)) u(0) <= u(z) <= ((1 + r) / (1 - r)) u(0)。這兩個因子恰是帕松核在距離 r 處的最小與最大值，所以 z 處的值被夾在中心值 u(0) 的兩個常數倍之間。更一般地，在包含於區域 D 的任何緊緻集 K 上，存在一個只依賴 K 與 D（不依賴 u）的常數 C，使得對 D 上每個正調和函數 u，K 上的 max 至多為 K 上的 min 的 C 倍。
哈納克不等式是位勢理論的主力。它的主要用途是控制極限：它顯示一列遞增的調和函數不會以零碎、亂無章法的方式爆掉——若它在某處有界，則在緊緻集上處處受控——這正是哈納克原理與求解狄利克雷問題的佩龍方法的核心。必須遵守的關鍵假設：正性（或一個一致下界）。去掉它則不等式不成立——一個變號的調和函數如 u = x，在過原點的圓上 min 為零、而那裡的 max 為正，所以沒有任何有限倍數能把它們聯繫起來。
對單位圓盤上的正調和函數 u，在半徑 r = 1/2 處哈納克給出 (1/2 / (3/2)) u(0) <= u(z) <= (3/2 / (1/2)) u(0)，即 (1/3) u(0) <= u(z) <= 3 u(0)：圓 |z| = 1/2 上任何地方的值都介於中心值的三分之一與三倍之間。
在半徑 1/2 的圓上，正調和函數被夾在 u(0)/3 與 3 u(0) 之間。
當 r -> 1 時常數爆炸（因子 (1 + r)/(1 - r) -> 無窮），所以哈納克只控制在遠離邊界的集合上的行為——它對正調和函數在趨近邊緣時可能如何增長毫無置喙。