帕松核（Poisson kernel）
/ PWAH-sohn /
當帕松公式對邊界值取平均、在圓盤內部造出一個調和函數時，總得有東西決定每個邊界點分到多少權重。那個加權函數就是帕松核。把它想成從內部點往邊界圓打出的一盞聚光燈：它最亮地照在離該點最近的圓周部分，對遠處的部分變暗，所以鄰近的邊界資料影響最大。
在單位圓盤上，帕松核為 P_r(phi) = (1 - r^2) / (1 - 2 r cos phi + r^2)，其中 r in [0, 1) 是內部點離圓心的距離，phi 是內部點方向與邊界點之間的角度差。它有三條使平均得以運作的性質：它處處非負；對每個固定的 r，它對 phi 從 0 到 2 pi 積分為 2 pi（所以除以 2 pi 使權重總和為一）；且當 r -> 1 時它集中成 phi = 0 處的尖峰，成為一個逼近單位（approximate identity），把內部值拉向相符的邊界值。還有一個漂亮的複形式：P_r(phi) 是 (1 + z) / (1 - z) 在 z = r e^(i phi) 處的實部，把核直接綁到一個解析函數上。
帕松核是帕松積分公式內部的引擎，也是該公式能同時解狄利克雷問題又遵守最大值原理的原因（一個非負、總質量為一的加權永遠不可能產生超出邊界資料範圍的值）。它也是柯西核 1 / (z - z_0) 的調和類比：兩者都從邊界資料還原內部值，一個給調和函數、一個給解析函數。要記住的警告：r 接近 1 時的尖峰使邊界值得以被重現，但它也意味著對粗糙的邊界資料，趨向邊界的收斂是在平均的意義下，而非在每一個壞點都逐點成立。
在圓心 r = 0，P_0(phi) = (1 - 0) / (1 - 0 + 0) = 1，是均勻的加權；所以帕松公式在圓心就是單純的平均 u(0) = (1 / (2 pi)) 乘以 g(t) dt 的積分——即平均值性質。
在圓心核為常數，所以帕松平均塌縮為平均值性質。
P_r(phi) 為正恰是因為當 r < 1 時 1 - 2 r cos phi + r^2 = |1 - r e^(i phi)|^2 > 0；這個正性並非裝飾——它正是保證所得函數遵守最大值原理的東西。