拉普拉斯變換：不連續與脈衝強迫
卷積定理（convolution theorem）
這是所有變換數學中最有用的一筆交易。在時域世界裡，用卷積融合兩個訊號是一個沉重的積分。在 s 域世界裡，同樣的融合卻變成單純的乘法。卷積定理就是這兩個世界之間的橋——而它幾乎總是意味著：把困難的工作放到讓它變容易的那個世界去做。
定理說：L{f * g} = F(s) G(s)。卷積的拉普拉斯變換，就是各自變換的乘積。正向讀，它把卷積積分變成一次快速的乘法。但反向讀才是每天的主角：當你解完一個常微分方程，s 域裡的答案是一個你不易拆開的乘積 F(s) G(s) 時，你不必硬套部分分式。你把每個因子分別反變換得到 f(t) 與 g(t)，再把答案寫成單一卷積積分 (f * g)(t) = f(tau) g(t - tau) 對 tau 從 0 到 t 的積分。s 域裡的乘積，保證來自時域裡的那個卷積。
這就是卷積與拉普拉斯變換密不可分的原因。它給出線性系統對任意輸入響應的乾淨封閉形式（輸入與脈衝響應的卷積），它拯救了部分分式無法處理的反變換（例如沒有漂亮變換的強迫項），它也是杜阿梅爾原理的種子。每當你看到兩個變換的乘積，就想到卷積。
要反變換 1/(s^2 (s^2 + 1))，把它讀成 (1/s^2)·(1/(s^2 + 1))；它們分別反變換為 t 與 sin(t)，故答案是卷積 t * sin(t) = tau · sin(t - tau) 對 tau 從 0 到 t 的積分 = t - sin(t)。
兩個變換的乘積反變換成單一卷積積分——不需部分分式。
定理適用於真正的卷積 f * g，而非普通乘積：L{f(t) g(t)} 並不是 F(s) G(s)。把逐點相乘誤認為卷積，是這裡最常見的錯誤。
又称
另见