压缩映射

压缩映射把每一对点至少按一个固定比例拉得更近。施行一次，任意两点都比原先更靠近；反复施行，整个空间便被稳步挤向单独一处。它是一种身不由己地把万物聚拢的映射。

严格地说，从度量空间 (X, d) 到自身的映射 T 称为压缩，如果存在常数 k 满足 0 <= k < 1，使得对所有 x, y 属于 X 都有 d(T(x), T(y)) <= k * d(x, y)。常数 k 即压缩因子；它必须严格小于 1。这一严格不等式是本质的——一个仅满足 d(T(x), T(y)) < d(x, y) 而无统一的小于 1 因子的映射，未必具有同样强大的后果。

每个压缩映射都自动连续，实则以常数 k 为利普希茨连续。它真正的威力显现于完备空间：在那里它必有恰好一个不动点，而从任意起点迭代该映射会径直把你带向它。这正是巴拿赫不动点定理的内容。