巴拿赫不动点定理

巴拿赫不动点定理是把反复逼近变成确切保证的主力。如果一个映射以统一的因子挤压一个完备空间，那么它有且仅有一个被它保持不动的点，而你只需从任意处出发，一次又一次地施行该映射，就能找到这个点。

确切地说：设 (X, d) 是非空完备度量空间，T: X -> X 是因子 k < 1 的压缩映射。则 T 有唯一不动点 x-star，即 T(x-star) = x-star。此外，对任意起点 x_0，迭代 x_{n+1} = T(x_n) 都收敛到 x-star，并有显式误差界 d(x_n, x-star) <= k^n / (1 - k) 乘以 d(x_1, x_0)。

三个前提缺一不可：完备性确保迭代构成的柯西序列确有极限；严格的界 k < 1 迫使迭代成为柯西序列且不动点唯一；而 T 必须把 X 映入自身。去掉完备性，或允许 k = 1，唯一性或存在性都可能失效。该定理是微分方程存在唯一性证明（皮卡定理）以及反函数定理与隐函数定理背后的引擎。