高階的複根（complex roots at higher order）

當你解一個 n 次的特徵多項式時，某些根可能是複數而非實數。對實係數方程，這些複根從不孤單——它們總是成共軛對出現，a + bi 與 a - bi 一起。這個觀念的工作，是把這樣的對轉成貨真價實、會振盪的實值解，一如二階；並在它們同時又是重根時加以處理。

轉換如下。複根 r = a + bi 形式上會給出 e^((a+bi)x)；用尤拉公式 e^(i theta) = cos theta + i sin theta，這是 e^(ax)(cos bx + i sin bx)。共軛根 a - bi 給出複共軛。因為方程有實係數，實部與虛部各自都是真正的解，所以這對共軛根貢獻兩個實解 e^(ax) cos(bx) 與 e^(ax) sin(bx)。數 a（實部）控制成長或衰減；數 b（虛部）定下振盪的頻率。若同一個複數對以重數 m 重複，你就像對重複的實根那樣疊上 x 的冪：e^(ax) cos(bx)、x e^(ax) cos(bx)、...、x^(m-1) e^(ax) cos(bx)，sin 亦然，這對共軛根共給出 2m 個實解。

這之所以重要，是因為振盪無所不在——振動的梁、交流電路、耦合共振器——而高階系統能同時承載好幾個振盪模態，每個複數對一個。兩個誠實的提醒。第一，仔細計數：單一複數對貢獻 2 個解，重數 m 的對貢獻 2m，所以把實根與複根連同重數一起清點，必須恰好總計為 n。第二，「成共軛對出現」的保證依賴於實係數；若一個方程具有真正的複係數，根不必成對，實解的捷徑就不適用。