球的密堆积

如果你见过市集上堆起来的橙子，或者古堡里堆放的炮弹，你就见过球的密堆积。当面对一堆相同的球、被要求用尽量少的空间时，你会把每个新球安放进下方那些球留出的凹坑里。这种堆叠的本能，正是大自然在多数金属、以及许多离子固体的阴离子骨架中排列原子的方式：尽可能多的邻居，尽可能少的空隙。

先铺一层平面（叫它 A），其中每个球都与另外六个球相接触。第二层（B）嵌入 A 层的凹坑里。关键的选择出现在第三层。如果它正好落在 A 的正上方，重复花样就是 ABAB，于是得到六方密堆积（hcp）。如果它落在一组全新的凹坑上方，花样就是 ABCABC，于是得到立方密堆积（ccp），它和面心立方点阵是同一种排列。两种情形下，每个球最终都接触十二个邻居（同层六个、上方三个、下方三个），且球填满了全部空间的 74%——这是等大球能达到的最密堆积，这一事实直到近年才作为开普勒猜想被证明。

密堆积之所以重要，是因为它为固态提供了一套总模板。多数金属不过就是密堆积的原子（铜、铝、金是 ccp；镁、锌是 hcp）。而在离子晶体中，较大的离子（通常是阴离子）常常排成密堆积阵列，较小的离子则塞进它们之间留出的空隙——四面体空隙与八面体空隙。知道是哪种堆积、填了哪些空隙、填到多满，几乎就能生成所有常见的离子结构类型，从岩盐到尖晶石。