李維連續性定理（Levy's continuity theorem）
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李維連續性定理是讓特徵函數方法成為弱收斂（含中央極限定理）嚴格證明技巧的引擎。它回答：若特徵函數逐點收斂，底層分布是否弱收斂？幾乎如此——而本定理精確指出何時成立。
設 X_n 的特徵函數為 phi_n(t) = E[e^(i t X_n)]。定理分兩半。正向：若 X_n 依分布收斂到 X，則對每個 t 有 phi_n(t) -> phi(t)，其中 phi 是 X 的特徵函數（因 e^(itx) 有界連續）。逆向（有用的一半）：若 phi_n(t) 對每個 t 逐點收斂到極限函數 g(t)，且 g 在 t=0 處連續，則存在以 g 為特徵函數的機率律 mu，且 X_n 依分布收斂到 mu。0 處連續的假設確實在做事：它等價於序列的緊性（tightness，無質量逃向 +/- 無窮），而緊性正是普羅霍羅夫定理用以抽取弱收斂子序列所需；特徵函數的逐點收斂再因特徵函數能分離測度而唯一鎖定極限。
這正是課本中央極限定理證明能成立的原因：要證標準化和 S_n 收斂到 N(0,1)，只需證其特徵函數收斂到標準常態特徵函數 e^(-t^2/2)（它在 0 處連續）即可。此假設不可放棄。若 phi_n(t) = e^(-n t^2/2)（即 N(0,n) 的特徵函數），則 phi_n(t) -> 1{t=0}，此極限在 0 處不連續；對應地 N(0,n) 攤平擴散，不收斂到任何機率律（質量逃向無窮）。0 處的不連續正是緊性喪失的分析指紋。
要對均值 0、變異數 1 的獨立同分布 X_i 證中央極限定理，把 S_n = (X_1+...+X_n)/sqrt(n) 的特徵函數寫成 phi(t/sqrt(n))^n。用 phi(s) = 1 - s^2/2 + o(s^2)，得 phi(t/sqrt(n))^n = (1 - t^2/(2n) + o(1/n))^n -> e^(-t^2/2)。由於 e^(-t^2/2) 在 0 處連續且為 N(0,1) 的特徵函數，李維定理給出 S_n 依分布收斂到 N(0,1)。
整個中央極限定理化約為特徵函數的一行極限，由連續性定理加以正當化。
僅有特徵函數的逐點收斂不夠——若極限在 0 處不連續（亦即缺乏緊性），質量可能漏向無窮，可能不存在極限機率律。