卡拉西奧多里延拓定理（Carathéodory's extension theorem）

卡拉西奧多里定理是對黎曼映射定理一個自然憂慮的精確回答：是的，共形映射在內部之間存在，但它在邊界處表現如何？對形狀良好的區域，答案是令人滿意的「是」——映射抵達邊界，在那裡保持連續且一對一，並把你區域的邊緣乾淨地映到單位圓。本定理恰好指出哪些區域「形狀良好」：那些以若爾當曲線為界的區域。

嚴格地說：設 D 是若爾當定義域——平面中一條簡單（不自交）閉曲線的內部——並設 f：D -> 單位圓盤 為黎曼映射。則 f 延拓成由 D 的閉包（區域加邊界曲線）到閉單位圓盤的同胚。特別地，邊界若爾當曲線被連續、雙射、保序地映到單位圓，且逆映射也連續。證明的核心在於說明：當內部點趨近邊界時，其像趨近圓而不在不同的圓上點之間「振盪」——關鍵的技術工具是對一條小圓形橫截線的像如何收縮的估計（一個長度-面積論證），以及若爾當曲線局部連通的事實，後者阻止邊界以本質不同的方式被趨近。

其重要性全然是實用的：它是透過共形映射搬運邊界資料的許可證，而那正是用共形映射解物理中邊界值問題的全部要點。沒有邊界對應，內部之間的映射就無法匹配邊界條件。誠實的提醒。假設恰好是「若爾當曲線」——一條簡單「閉」曲線；去掉簡單性（讓邊界自交或有割縫），同胚延拓就可能失效。結論是同胚，即連續雙射且逆映射連續；它「不」斷言邊界處的可微性，那需要曲線額外的光滑性。對邊界非若爾當曲線的定義域，正確的推廣以卡拉西奧多里的素端概念取代邊界點。