瑞利商（Rayleigh quotient）

不精确求解鼓的方程，怎样估计鼓的最低固有频率？瑞利商就是答案：由你随手猜的任一试探形状构造的一个数，它高估最低本征值，而你的猜测越好它就越接近。它把本征值问题化为一个极小化问题，后者在近似处理上往往容易得多。

对斯图姆-刘维尔算子，满足边界条件的试探函数 u 的瑞利商是 R[u] =（integral of [p (u')^2 - q u^2] dx）除以（integral of u^2 w dx）。分子在物理上是某种储能（弯曲或拉伸能加一个势能项）；分母是带权范数。两个事实使它有力。其一，若代入精确本征函数 y_n，便原样得回其本征值 lambda_n。其二，该商在每个本征函数处驻定，并在所有容许 u 上被最低本征值极小化：lambda_1 等于 R[u] 的最小值。于是对任何并非真正基态的试探 u，R[u] 大于 lambda_1——一个你能算出的上界。

这是瑞利-里茨方法的引擎，也是物理与工程的常备工具。猜一个带几个自由参数的简单试探函数，把 R[u] 算成这些参数的函数，再极小化；结果是基本本征值（最低振动频率、量子力学中的基态能量、柱的屈曲载荷）的一个严格上界。即便粗糙的猜测也常落在百分之几以内，因为该商在真实模式附近驻定——形状的小误差只造成本征值的二阶误差。