本征值的变分估计（variational eigenvalue estimate）

精确的本征值常遥不可及，但对它的一个有保证的界并非如此。本征值的变分估计就是把瑞利商的极小原理化为数值的实用配方：选一族试探函数，在其上优化，读出最低本征值的一个严格上界。它以精确可解性换取一个可控而诚实、且可随意加细的近似。

极小原理说 lambda_1 等于瑞利商 R[u] 在所有容许 u 上的最小值。你无法搜遍所有函数，于是限制到一个有限维试探空间——比如 u = a_1 phi_1 + ... + a_N phi_N，phi_k 为所选基函数，a_k 为自由系数。在系数上极小化 R[u]，便把变分法问题化为一个有限的广义矩阵本征值问题 A a = mu B a，其中 A、B 是刚度阵与质量阵（基函数之间的分子与分母积分）。其最小本征值 mu_1 就是你对 lambda_1 的估计，且可证不小于 lambda_1：更多（或更好）的试探函数只会把估计向真值压低。这正是瑞利-里茨方法，而把试探空间扩大到估计不再变动，便是有限元法的概念种子。

由于这个界是单侧且单调的，变分估计可信的方式是许多近似所不及的——你始终知道自己在真值之上，并能看着估计随基函数的增加而下降。工程师据此求屈曲载荷与振动频率，量子化学家据此估计基态能量（那里的变分原理保证所算能量绝不低于真正的基态）。要留意的是：干净的上界保证只适用于最低本征值；要界定更高的模式，需正交约束或更精细的极小极大刻画。