最速降线问题（brachistochrone problem）
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想象一颗珠子穿在一根无摩擦的金属丝上，金属丝从高处 A 通向偏在一侧、较低的 B。让珠子从静止释放，由重力沿丝拉动。哪种形状的丝能让珠子用最短时间从 A 到 B？出人意料，不是直线，也不是最直接的俯冲。最速降线（希腊语意为「最短时间」）问题就是求最快下降的曲线——在计时上胜过其他一切滑道的那一条。
写成泛函，行进时间为 T[y] = 对（路径的弧长元）除以速度的积分。由能量守恒，下落高度差 h 的珠子速度为 sqrt(2 g h)，故被积函数是 sqrt(1 + y'^2) 除以 sqrt(2 g y)，其中 y 自起点向下度量。由于这个被积函数不显含 x，贝尔特拉米恒等式立即给出首次积分，解出来揭示答案：一条倒置的摆线——滚动车轮边缘一点所描出的曲线。最快的滑道一开始陡降以迅速积累速度，然后变平，当 B 远在一侧时甚至会降到 B 以下再爬回来。
约翰·伯努利在 1696 年把这个问题作为公开挑战提出，随之而来的解答洪流——来自牛顿、莱布尼茨、洛必达和伯努利兄弟——常被视为变分法作为一门学科的诞生。除了历史分量，它是「最短」与「最快」是不同优化这一点最干净的示例：直丝长度最短却更慢，因为在前段路程上花在陡降上的代价，储下的速度会在余下旅程中得到回报。同样的取舍潜藏在任何最短时间路径问题中，从光学（费马原理，光走最快路径并在界面处折弯）到运动规划。
对于横向一单位、纵向一单位的下落，摆线滑道胜过直斜坡：尽管直丝长度更短，所用时间却更长，因为摆线用前段的陡降换来速度，载着珠子轻快地跑完余下路程。
最快的滑道是摆线而非直线——早早储下的速度胜过单纯的短。
一个常见的失误是以为最快路径就是最短或最陡的。两者都不是；它是摆线，而且当端点水平距离较远时，它甚至会先降到目标之下再爬回去。