波萊爾定理（Borel's theorem）
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皮卡定理告訴你整函數至多漏掉一個值，但它對每個值被取多「頻繁」一語不發。波萊爾定理把這精化為關於解之豐富程度的定量法則。它說：對有限階 rho 的整函數，f(z) = w 的解對本質上每個 w 都很豐富：f(z) - w 的零點的計數函數以完整速率 r^rho 增長，對每個值 w，至多一個例外。那個吝嗇的值——解異常稀疏的那個值——就是例外（波萊爾）值，而它至多只有一個。
精確地說：設 f 為有限正階 rho 的整函數。對一個值 w，f(z) - w 的零點的增長階稱為其「收斂指數」。波萊爾定理斷言這個指數對每個 w 都等於 rho，至多有一個例外的 w 使它嚴格更小。換言之，幾乎每個值都被稠密地取到——以階所允許的最大速率——至多一個值被取得較稀疏。指數函數再次成為極端範例：e^z 的階為 1，對每個不為 0 的 w，e^z = w 的解的計數函數像 r 那樣增長（指數 1），而 w = 0 是波萊爾例外值，根本從不被取到（指數 0）。所以在這裡皮卡漏掉的值與波萊爾稀疏的值重合。
波萊爾定理是從定性的皮卡陳述通向內凡林納後來完成的定量值分布理論的橋樑。它把「至多漏掉一個值」精化為「以最大密度取遍每個值，至多除一個」，把階 rho 不僅與 f 的零點、而且與 f 對每個目標 w 的 w 點聯繫起來。謹慎的提醒：例外值由計數函數速率的虧損定義，未必由徹底的漏掉定義——一個波萊爾例外值可能仍被取到，只是太稀疏以致跟不上階；徹底的漏掉（皮卡例外值）是成為波萊爾例外的最極端形式。
取 f(z) = e^z + z，它是階 1 的整函數。方程 f(z) = w 的解的計數函數對每個值 w 都像 r 那樣增長——現在包括 w = 0，因為 e^z + z 確實取到 0。這裡 f 沒有例外值：那允許的單一例外是被准許的，卻非被強迫的。波萊爾定理保證至多一個例外值，而非必須存在一個。
波萊爾定理允許至多一個例外值卻不要求一定有——e^z + z 沒有，而 e^z 恰好有一個。
波萊爾例外意指該值的計數函數增長嚴格慢於階，這比皮卡的徹底漏掉更寬鬆；一個值可以是波萊爾例外卻仍被取到。而定理需要有限正階——對階 0 或無窮它一語不發。