BK 不等式（the BK inequality）
/ BK = van den Berg-Kesten /
哈里斯-FKG 不等式說遞增事件正相關——它們互相幫助。BK 不等式則捕捉「互斥發生」的相反現象：若兩個遞增事件必須「使用各自的資源」（互不相交的開放邊集）才能發生，則它們相互妨礙而非幫助，其互斥發生的機率至多為兩個機率之乘積。它是 FKG 下界的自然上界對應物，也是控制「需要許多獨立開放路徑」之事件的關鍵工具。
把「互斥發生」說精確。對組態 omega 與事件 A、B，若存在兩個互不相交的邊集，使得 omega 在第一個集上的值已保證 A、在第二個集上的值已保證 B——每個事件由其各自私有的邊見證——則稱 A 與 B 互斥發生，記為 A box B（box 算子）。范登貝赫（van den Berg）與凱斯滕（Kesten）1985 年證明，對乘積測度與遞增事件，P(A box B) <= P(A) P(B)。萊默（Reimer）1996 年進一步證明同樣的界 P(A box B) <= P(A) P(B) 對所有事件（不只遞增者）成立（BKR 不等式），這是深得多的結果。直覺是：要求互不相交的見證是真正的約束——兩事件無法共用它們在 FKG 下能共用的有益邊——所以互斥要付出代價，而代價恰是類似獨立的乘積界。
每當組態必須含數個邊不相交的結構時 BK 便不可或缺，例如兩遠點間兩條互不相交的開放路徑、或 k 條互不相交的跨越。一個經典用法是界定某頂點落在許多互不相交的開放迴路上的機率，或控制連接某區域與其補集的互不相交開放叢集數，這出現在指數衰減的證明與伯頓-基恩唯一性論證中。誠實的告誡是「互斥」這個詞：BK 界定的是 P(A box B)，而非 P(A 交 B)。兩個遞增事件的普通交集走的是另一方向（FKG 給下界）。把交集與互斥發生混淆是標準錯誤；算子 box 做著本質性的工作。
令 A_k = {從原點到距離 n 存在 k 條邊不相交的開放路徑}。則由疊代 BK，P(A_k) <= P(一條到距離 n 的開放路徑)^k，它在 k 上幾何衰減。這類界正是用來說明次臨界叢集不可能有太多條獨立長臂。
互不相交的開放結構付出機率之乘積——FKG 的上界鏡像。
BK 界定的是互斥發生 A box B，而非交集 A 交 B；對遞增事件，交集服從相反的（FKG 下）界。萊默定理去掉了單調性假設，但互不相交見證的結構仍是本質性的。