反正弦定律（arcsine law）

這是全機率論中最違反直覺的結果之一。兩位實力相當的玩家以公正硬幣賭很長一段時間，追蹤誰領先。常識說領先應該頻繁易手，每位玩家應該約有一半時間領先。常識大錯特錯。反正弦定律揭示：一位玩家處於領先的時間，最可能接近遊戲的 0% 或接近 100% —— 而最不可能接近「公平」的 50%。

把它說精確。對一個跑了很長一段的對稱隨機漫步（或布朗運動），考慮路徑停留在正側的時間「比例」。你或許預期這個比例會聚集在 1/2 附近。然而它的分布是反正弦分配，呈 U 形 —— 在 0 與 1 兩端附近堆積，中間下凹。停留在正側的時間比例至多為 x 的機率，由 (2/pi) 乘以 arcsin(sqrt(x)) 給出，定律因此得名。最可能的結果是某一側幾乎整段時間都佔上風；近乎對半的分割反而是所有情形中最罕見的。

這個悖論背後的直覺微妙卻真實：一旦隨機漫步漂向一側，要回到並穿越零是困難而緩慢的（回想回到原點的期望時間是無窮）。所以路徑傾向於停留在它已遊走到的那一側，一次就停很長一段。三個同胞反正弦定律支配著這個情境 —— 停留在正側的時間比例、最後一次造訪零的時刻、以及最大值出現的時刻 —— 全都共享同一個 U 形分布。實際的寓意很尖銳：在一場漫長的公平遊戲中，長長的一面倒「連勝」並非僥倖；它們才是常態。把它們解讀為技巧、氣勢或遊戲被做了手腳的證據，是一個經典的統計錯誤。