捨入模式

當計算產生的位數比你的格子放得下還多，你必須捨入——但怎麼捨？總是進位、總是捨去、或直接砍掉多餘位數，都會帶入一致的偏向，在數百萬次運算後讓答案漂移。捨入模式就是 FPU 遵循的規則，用來在真正結果落在兩個可表示值之間時，決定保留哪一個。IEEE-754 定義了好幾種，關鍵是把這個選擇明確化、標準化，而非任其隨機。

預設且最重要的模式是「捨入到最近，平局取偶」。挑兩個可表示值中較近的；若真值正好落在正中間，挑最後一位是 0 的那個（「偶」的那個）。為何平局取偶而非一律進位？因為在中點一律進位會帶入一個微小的向上偏差並累積；把一半的平局往下捨、一半往上進，讓誤差平均而言相互抵銷，使長計算在統計上無偏。例子：取到整數，2.5 捨入到 2（偶），3.5 捨入到 4（偶）——各走一半。IEEE-754 也定義有向模式：朝正無窮捨入、朝負無窮捨入、朝零捨入（截斷），對區間算術與取得可證明的誤差界至關重要。

誠實的重點是：捨入不是該被消滅的瑕疵，而是一種有定義、受控的行為。因為模式是標準的一部分，同一支程式在每台符合標準的機器上以同樣方式捨入，這正是浮點結果可重現的緣由。但捨入仍意味著每次運算都可能略有偏差，這些誤差會疊加，粗心的演算法會放大它們——選對模式（或更準確的求和法）是寫出數值穩健程式的一部分。