角平分線定理（angle-bisector theorem）

當三角形某個角的平分線被畫到對邊時，它通常不會落在中點上——而是落在一個把對邊按構成該角的兩條邊之比來分割的點上。角平分線把對邊分成兩段，這兩段的比與兩條鄰邊的比相同。較長的鄰邊分得較長的一段。

在三角形 ABC 中，設角 A 的平分線在 D 點交於邊 BC。則 BD/DC = AB/AC。所以若在 A 相交的兩邊之比是 3 : 5，角平分線就把對邊 BC 切成同樣 3 : 5 之比的兩段。要求未知的一段，列出比例並求解：若 AB = 6、AC = 9、BC = 10，則 BD/DC = 6/9 = 2/3，又因 BD + DC = 10，得 BD = 4、DC = 6。（證明是過 C 作一條平行於角平分線的線，再套用分點線段定理。）

這是中點與中線概念的相似版夥伴：中線總是打在中點上，但角平分線打在一個成比例的點上，只有當三角形在 A 為等腰時，這個點才與中點重合。另外還有針對外角平分線的外版本，它把對邊以相同的比向外分割。這個定理是奧林匹亞幾何的最愛，也常見於任何把角平分線與邊長混在一起的題目。