依賴參數的積分的解析性（analyticity of parameter integrals）

許多重要的函數並非由公式給出，而是由帶參數的積分給出，例如 F(z) = 在某路徑或集合上的 g(z, w) dw 的積分，其中 z 是複參數而 w 被積掉。一個自然且有用的問題：若被積式對 z 解析地依賴，那麼所得的函數 F 對 z 也解析嗎？柯西的機器在溫和條件下回答「是」——解析性能穿過積分號。

乾淨的敘述：若 g(z, w) 對每個固定的 w 對 z 解析、對兩個變數連續、且在一個固定有界集上的積分收斂良好（例如在緊 z-集上一致收斂），則 F(z) = g(z, w) dw 的積分對 z 解析，你甚至可以在積分號下求導，F'(z) = g 對 z 的導數的積分。證明是一個莫雷拉論證：把 F 沿任一三角形積分，交換積分次序（由收斂性所保證），利用 g 對 z 解析故其三角形積分為零，斷定 F 的三角形積分為零，莫雷拉便使 F 解析。

這是讓一大族特殊函數合法化的沉默主力。由積分定義的伽瑪函數、拉普拉斯與傅立葉轉換，以及柯西積分公式本身（一個其參數為 z_0 的積分），都恰因這條原理而解析。值得其分量的警語：你必須控制收斂性——在緊集上一致收斂是慣常的通行證，若無它，交換極限、導數與積分可能失敗。