艾里函數（Airy functions）
/ AIR-ee /
想像一個波，當你沿著移動時逐漸耗盡能量：在一側它歡快地振盪，在另一側它沒有空間振盪、反而只是衰減消失。「容許有波」與「禁止有波」之間的邊界，由艾里函數支配，它們是貌似簡單的方程 y'' - x y = 0 的解，那大概是想像得到的最簡單的變係數方程，卻沒有初等解。
方程 y'' = x y 有個了不起的特點：係數的正負號在 x = 0 處翻轉。對 x < 0，方程表現得像 y'' = -(正) y，是振盪的（如 y'' + y = 0），故解擺動。對 x > 0，它表現得像 y'' = +(正) y，是指數的（如 y'' - y = 0），故解增長或衰減。兩個標準解是第一類艾里函數 Ai(x)，當 x 越過正側增大時優雅地衰減到零，是物理上相關的「有界」者；以及第二類 Bi(x)，在那裡爆掉。請注意 x = 0 其實是常點，所以冪級數運作良好；趣味不在任何奇點，而在這種振盪交棒給衰減的轉折點行為。
艾里函數是「轉折點」的普適局部描述，即量子力學問題中粒子到達其容許區域邊緣之處，或光學中光線掠過焦散面、產生彩虹亮紋之處。每當一個平滑變化的係數穿過零、解的特性從波動切換到衰減，你都會發現一個艾里函數描述那個過渡，而正是這份普適性，使如此簡單的方程值得擁有一對具名函數。
在常點 x = 0 附近用冪級數解 y'' = x y：比對係數得 a_(n+3) = a_n / ((n+3)(n+2))，一個三步遞迴。從 a_0 出發建起一個解，從 a_1 出發建起另一個；當 x 增大仍保持有界的那個特定組合就是 Ai(x)，帶著著名的值 Ai(0) = 1/(3^(2/3) Gamma(2/3))。
x = 0 是常點，故平凡冪級數即可；那個三步遞迴來自那一個 x y 項。
別以為艾里方程的簡單就意味著有初等解，y'' - x y = 0 並無以冪、指數或三角函數表達的解；簡單在於方程，而非答案。