適應性網格加密（adaptive mesh refinement）

一個解很少在各處都同樣困難。區域的大部分可能平滑而無趣，而所有的戲劇——尖銳的邊界層、裂縫尖端、移動的震波——都擠進一個極小的區域。為了解析那一個區域而在各處都鋪均勻的細網格，會在容易的部分上浪費巨大的工夫。適應性網格加密是更聰明的替代：讓計算本身去發現它在哪裡吃力，只在那裡放小元素，而在解平緩處留下又大又便宜的元素。

讓這成為可能的引擎是後驗誤差估計子——「後驗」意指「事後」，由你已有的數值解算出，不同於 Cea 引理那種需要未知真解的先驗界。一個典型的基於殘差的估計子會在每個元素上計算：離散解未能滿足原偏微分方程的程度有多差（元素殘差），再加上一個量度元素邊上通量失配的跳變項。估計子大就表示那裡誤差大。於是迴圈是「求解、估計、標記、加密」：在當前網格上求解，估計各元素的誤差，標記估計子最大的元素，只加密那些（把每個被標記的三角形分成更小的），再重複。網格恰在需要之處變細，自動進行。

報酬是效率：要達到目標精度，你所需的未知量可能比均勻網格少好幾個數量級，而對奇異問題（內凹角、點負載），適應性能「恢復」均勻網格所失去的最佳收斂速率。凡是解具有局部特徵且幾何複雜之處，它都不可或缺。誠實的提醒：估計子只在常數倍內界定真誤差（可靠性與效率常數）；好的估計子是問題相關的，對非線性或非自伴方程更難；而加密必須維持網格的協合與良好形狀，否則它會引入自己的誤差。它有表親——p-加密（提高多項式次數而非分割元素）與 hp-適應性（兩者並用）——對光滑解能收斂得更快。