剛度矩陣（stiffness matrix）

當有限元素法把偏微分方程化為線性方程組 K c = f 時，矩陣 K 有一個借自其結構工程起源的名字：剛度矩陣。這名字來自彈性力學，在那裡 K 確實編碼了結構抵抗變形的剛硬程度，但這個矩陣對每一個橢圓型偏微分方程都會出現。它是微分算子的離散化身——算子的作用，記錄在一張有限的數字網格中。

它的元素是具體的積分。第 (i, j) 個元素是 K_ij = 在區域上對 (grad phi_i) 點乘 (grad phi_j) 的積分，其中 phi_i 與 phi_j 是位於節點 i 與 j 的基底函數。由於每個基底函數（帽形）只在觸及其節點的少數元素上不為零，除非節點 i 與 j 相鄰，否則該積分為零——於是絕大多數元素都是零，K 是「稀疏」的，這正是讓百萬未知量的 K c = f 可解的關鍵。只要底層的弱形式對稱且強制，K 也是對稱正定的，這保證唯一解，並讓你能使用如 Cholesky 或共軛梯度等高效求解器。其伴隨矩陣 M_ij = phi_i phi_j 的積分（無梯度）是質量矩陣，出現在含時與特徵值問題中。

實務上 K 從不被寫成一個大積分；它是逐元素「組裝」而成的。你為每個元素算一個小的局部剛度矩陣（線性三角形是 3x3），再把它的元素加進全域 K 中對應該元素節點的列與行。這種局部到全域的組裝是每一份有限元素程式的計算核心，而其稀疏性是一切：一百萬未知量的稠密矩陣需要 8 兆位元組（TB），而稀疏的剛度矩陣只需數 GB，幾分鐘內便能解出。