伽遼金法（Galerkin method）
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偏微分方程的弱形式要求一個函數 u，住在無窮維空間中，對無窮多個試驗函數 v 滿足 a(u, v) = L(v)。你無法在電腦上、為一個無窮維未知量求解無窮多個方程。伽遼金法就是那道橋：它藉由只容許有限多個自由度，把無窮問題換成一個有限問題，再讓有限的答案隨你加入更多自由度而收斂到真解。
用平實的步驟講方法。挑一個有限維子空間 V_n，由 n 個選定的基底函數 phi_1, ..., phi_n 張成（對有限元素而言，即網格上的小帳篷形函數）。在 V_n 內尋找近似解 u_n = c_1 phi_1 + ... + c_n phi_n，並只要求弱方程對 n 個基底函數成立：對 i = 1, ..., n 有 a(u_n, phi_i) = L(phi_i)。代入展開式，這就變成 n 個未知係數 c_1, ..., c_n 的 n 個普通線性方程組——矩陣方程 K c = b，其中矩陣 K 的元素 K_ij = a(phi_j, phi_i)（剛度矩陣）、b 的元素 L(phi_i)（負載向量）。那是一個你真能求解的有限線性系統。深刻的保證——希亞引理——說伽遼金解 u_n 本質上是 V_n 之內對真解 u 可能最好的近似——所以隨子空間增長到填滿整個空間，u_n 收斂到 u。
它為何雙重重要。理論上，伽遼金是存在性的構造性證明：解這些有限系統，證明近似 u_n 有界（用強制性），抽出收斂子序列（用緊緻性），極限就是貨真價實的弱解——一個建造出解、而非設定解的存在性的方法，作為拉克斯-米爾格拉姆的替代。實務上，當基底函數選為網格上局部、分段多項式時，伽遼金法就是有限元素法：未知量是節點值的向量、剛度矩陣稀疏，你便有了現代計算工程的主力。整套機器——從熱傳導到結構力學到流體流動模擬——都是運作中的伽遼金。誠實的提醒：u_n 的品質只與子空間 V_n 一樣好；糟糕的網格或錯誤的基底給出糟糕的答案，而收斂要求這些子空間真的在解空間中變得稠密。
對 (0, 1) 上、兩端為零的 -u'' = f，在網格 x_i = i h（h = 1/(n+1)）上取分段線性帳篷函數 phi_i。每個 phi_i 在節點 i 處為 1、在所有其他節點處為 0。那麼 a(phi_i, phi_j) = phi_i' phi_j' 的積分只在相鄰節點處非零，給出著名的三對角剛度矩陣 (1/h) 乘 [對角線為 2，非對角為 -1]。解 K c = b 還原出標準的類有限差分近似——伽遼金與有限元素在此是同一回事。
在帳篷函數的網格上，伽遼金產生有限元素的三對角剛度矩陣。
伽遼金為試驗解與試驗函數選用「同一個」空間；使用不同空間是佩特羅夫-伽遼金變體，某些對流主導的問題需要它，因為純伽遼金在那裡會產生虛假振盪。收斂並非隨便挑有限子空間就自動成立——它們必須在能量空間中變得稠密，而近似品質由 V_n 能多好地表示真解所支配（希亞引理），所以選得差的網格確實會劣化答案。