有限元素法（finite element method）

有限差分在整齊的矩形網格上運作得極漂亮，但真實的工程形狀——一個彎曲的托架、一塊破裂的岩石、一片機翼——用方格網格來剖分很彆扭。有限元素法走一條不同且更靈活的路：把區域切成許多簡單的小塊（二維是三角形、三維是四面體——即「元素」），在每一塊上用簡單的多項式近似未知函數，再把各塊縫合起來。它正因能順應複雜幾何，而成為結構與工程模擬中的主流方法。

其數學引擎是弱（變分）形式，而非直接用原偏微分方程。你不要求方程在每一點都成立，而是把它乘上一個試驗函數、在區域上積分，再用分部積分把一個導數從未知函數上移開——例如把 -Laplacian u = f 化為「對所有試驗函數 v 皆有 grad u 點乘 grad v 的積分 = f v 的積分」。如今你只需一階導數，這讓你能用簡單的分段線性「帽形」函數作為基底。伽遼金配方選近似解為這些基底函數的組合 sum c_i phi_i，並要求弱方程對每個作為試驗函數的基底函數都成立。把所得條件組裝起來，產生線性方程組 K c = f，其中 K 是剛度矩陣（來自 grad-grad 積分），未知量 c 是節點值。解出它，就得到你的有限元素解。

有兩點讓有限元素法不只是「三角形上的有限差分」。其一，它建立在嚴格的變分理論上：拉克斯-米爾格拉姆定理保證弱解唯一存在；伽遼金正交性說有限元素誤差在自然的能量範數下是所選空間中「最佳」的可能近似（這就是 Cea 引理）；而後驗誤差估計子讓網格在誤差最大處自我加密。其二，諾伊曼（自然）邊界條件由分部積分免費落出，而狄利克雷條件則施加在空間上。相對於有限差分的取捨是：以更多的簿記（剖分網格、組裝）換取幾何上的靈活性與一套乾淨的誤差理論。