积累函数与贴现函数

设想把一元钱投进账户后不再去碰它。随着时间流逝，它按某种规则增长。积累函数（记作 a(t)）就是那条配方，告诉你这 1 元经过 t 期后变成了多少。反过来让时钟倒走，问一笔未来的钱现在值多少，就得到它的镜像——贴现函数。这两个函数合在一起，就是把任何金额在时间上搬来搬去的引擎。

积累函数 a(t) 给出在零时刻投入的 1 单位在 t 时刻的价值，按定义 a(0) 等于 1。在复利下 a(t) 等于（1 + i）的 t 次方；在单利下等于 1 加 i 乘 t；一般地等于 e 的（利息力直到 t 时刻的积分）次方。贴现函数（记作 v(t)）是它的倒数，1 除以 a(t)——在 t 时刻应付的 1 单位今天的现值。在复利下 v(t) 等于 v 的 t 次方，其中 v 是一期贴现因子 1 除以（1 + i）。

这些函数是共同的抽象，让精算师无需锁定任何一种利率模式就能工作。通过选择 a(t) 的形式，你可以为常数利率、单利、平滑变化的利息力，甚至跳变的利率方案建模。这门学科中的每一个现值、积累值、年金和准备金，归根到底都是把现金流乘以适当的 a(t) 或 v(t) 值构造出来的。它们是利息理论的动词。