韋恩斯坦定理
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在正曲率空間上，一個剛體運動（等距）不能太自由地遊蕩：若它保持定向且維數恰當，它便被迫至少讓一點恰好留在原處。韋恩斯坦定理正是這個不動點保證。它是辛格定理的相伴結果，誕生於同一套能量第二變分機制，並顯示正曲率不僅約束流形的形狀，還約束流形所能承載的每個對稱之行為。
確切地說：設 M 是緊、可定向、具正截面曲率 K > 0 的黎曼流形，f : M -> M 為等距。若 M 偶維且 f 保定向，則 f 有不動點；若 M 奇維且 f 反定向，則 f 有不動點。其證明是驅動辛格的同一塊瑰寶。設 f 無不動點；則位移函數 p -> d(p, f(p)) 在某點 q 達到正的最小值，而從 q 到 f(q) 的測地線 gamma 是最短連線。沿 gamma 的平行移動與 f 的微分複合後是切空間的一個等距，其定向行為（在偶維＋保定向或奇維＋反定向情形）迫使存在一個固定的單位向量；gamma 沿該方向的能量第二變分因 K > 0 而嚴格為負，從而在附近產生嚴格更短的位移、與最小性矛盾。故不動點必存在。
韋恩斯坦定理乾淨地說明了曲率如何掌控動力學與對稱，歷史上它與辛格定理並列，構成「正曲率是剛性的」這套組合的另一半。誠實的注意。其一，每個假設都精確，且奇偶配對不可或缺——奇維正曲率流形上保定向的等距未必有不動點（標準球面 S^3 上無不動點的旋轉是保定向的），同樣偶維反定向情形也可能無不動點（S^2 上的對徑映射反定向且無不動點）。其二，需要 K > 0（截面）；較弱的曲率界並不足夠。其三，它是緊流形的陳述——在非緊空間上位移的最小值可能達不到，論證便崩潰。
標準二維球面 S^2（偶維、K > 0）上任何保定向的等距都必固定一點——球面繞軸的旋轉固定兩極，正如所預測。奇偶之精確性由 S^2 上的對徑映射 x -> -x 顯示：它確是正曲率偶維流形的等距，但它反定向（偶維時對徑映射反定向），故落在偶維＋保定向假設之外——它確實無不動點。在 S^3（奇維）上，一個無不動點的保定向旋轉同樣逃出定理、無不動點。
偶維＋保定向＋K>0 迫使不動點；對徑映射（反定向）逃出且無不動點。
奇偶與定向的配對不可互換：偶維需要「保」定向、奇維需要「反」定向。對調便不成立，球面的無不動點旋轉即為證。