辛格定理
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正曲率不只界定流形的大小——依維數是偶是奇、空間是否扭轉，它還迫使可定向性與連通性得出乾淨的答案。辛格定理便是這類精確的奇偶陳述。它運用與邦尼-邁爾斯相同的第二變分思想，但施加於閉測地線、並由定向加以扭轉，得出結論：可定向的緊正曲率流形不可能同時是偶維且非單連通，而奇維時則由定向保證連通。
確切地說，有兩個乾淨的情形。若 M 是緊、可定向、偶維的黎曼流形，截面曲率 K > 0，則 M 單連通（pi_1(M) 平凡）。若 M 緊且奇維，K > 0，則 M 可定向。其證明是第二變分法的瑰寶。設 M 偶維、可定向、K > 0 卻不單連通；取非平凡自由同倫類中的一條最短閉測地線 gamma。沿 gamma 繞一圈的平行移動是法空間的一個保定向等距（偶維旋轉），它必固定某個法向量；沿該方向變分 gamma 是一個第二變分，其指標形式因 K > 0 而嚴格為負，故你能在保持同倫類的同時縮短 gamma——與它最短矛盾。因此不存在這樣的類，pi_1 平凡。
辛格定理是 RP^2（偶維但不可定向）與平坦克萊因瓶之所以如此表現的原因，也乾淨地劃分了正曲率能迫使與不能迫使之事。誠實的注意。其一，每個假設都必要：RP^2 = S^2/{±1} 具有 K > 0、偶維卻不可定向，pi_1 = Z/2——它正是因為不可定向才不單連通，故不可去掉可定向性。其二，奇維時單連通的結論為假（RP^3 具有 K > 0 且 pi_1 = Z/2），這正是奇維情形只能斷言可定向的原因。其三，需要 K > 0（截面）——與邦尼-邁爾斯不同，里奇界對辛格並不足夠。
偶維情形的實際運作：任何 K > 0 的緊可定向曲面（n = 2）必單連通，故由分類定理它就是二維球面——不存在正曲率的可定向環面或虧格 2 曲面（與高斯-博內定理一致，後者迫使總曲率 2pi chi > 0）。可定向性之必要性顯現於 RP^2：K > 0、偶維、卻不可定向，而 pi_1 = Z/2 確實非平凡。奇維情形：RP^3 = S^3/{±1} 帶 K > 0，辛格正確地只斷言它可定向（它確實如此），而非單連通（它並非如此）。
偶維＋可定向＋K>0 迫使單連通（二維球面）；RP^2 顯示不可去掉可定向性。
韋恩斯坦定理是與之相伴的不動點結論：緊偶維可定向正曲率流形上保定向的等距必有不動點——驅動辛格的正是同一套奇偶與曲率機制。