萊夫謝茨不動點定理（Lefschetz fixed-point theorem）
/ LEF-shets /
當你把一個空間連續地形變到自身上，是否必有某點留在原處？有時是，有時否——圓的旋轉移動每個點，但圓盤的旋轉固定圓心。萊夫謝茨不動點定理用一個由同調算出的整數回答此問：若那個整數非零，不動點便有保證。它是布勞威爾定理的巨大推廣，把關於映射的問題化為關於跡的問題。
設 f: X -> X 是緊空間（譬如有限 CW 複形）到自身的連續自映射，其有理同調有限生成。映射在每個有理同調向量空間上誘導線性映射 f_*: H_k(X; Q) -> H_k(X; Q)。萊夫謝茨數是它們跡的交錯和，L(f) = sum over k of (-1)^k trace(f_* on H_k(X; Q))。定理陳述：若 L(f) 不為零，則 f 至少有一個不動點。等價地，逆否地，無不動點的映射其萊夫謝茨數必為零。證明把 f 的圖與 X cross X 中的對角線相比較，用兩種方法計算它們的交截數。
特例重現著名結果。若 f 同倫於恆等，則 f_* 在每個 H_k 上是恆等，跡是貝蒂數，L(f) 變成交錯和 b_0 - b_1 + b_2 - ... = chi(X)，即歐拉示性數。所以同倫於恆等的自映射在 chi(X) 非零時必有不動點——這正是為何偶維球面、或任何歐拉示性數非零的空間的每個連續自映射都剛硬地表現，也是為何這類空間上不可能存在處處非零的向量場（偽裝的毛球定理）。取 X 為圓盤並注意它可縮，便重現布勞威爾不動點定理。
誠實的提醒兩個方向都有。定理是單向的：L(f) 非零迫出不動點，但 L(f) = 0 並不意味沒有不動點——它只意味不動點（若有）在計數中抵消。圓的無不動點旋轉有 L = 0，與定理一致，但圓上的恆等映射也有 L = 0，而它固定一切；L = 0 純粹不給資訊。此外，定理需要有理（或實）係數與有限性假設；在整數上跡一般無定義，而對無限複形萊夫謝茨數甚至未必存在。
二維球面上任何同倫於恆等的連續自映射 f 有 L(f) = chi(S^2) = 1 - 0 + 1 = 2，非零，故 f 必固定一點。相對地，對徑映射 a(x) = -x 在 H_2(S^2) = Z 上作用為 -1，給出 L(a) = 1 + (-1) = 0——而對徑映射確實無不動點，與 L = 0 一致。
在 S^2 上恆等映射有 L = 2（被迫的不動點），但對徑映射有 L = 0（無不動點）。
蘊含只朝一個方向：非零萊夫謝茨數迫出不動點，但 L(f) = 0 什麼也沒說——不動點可能存在而僅僅抵消。定理需要有理係數與有限性假設；整係數的跡一般不可用。