龐加萊對偶（Poincaré duality）
/ pwan-kah-RAY /
在閉定向流形上有一個驚人的對稱：k 維的同調映照 n - k 互補維的同調。曲面的迴圈與其迴圈配對，四維流形的曲面與其曲面配對。龐加萊對偶就是使這面鏡子精確的定理，它把一個次數的上同調與互補次數的同調等同起來，是關於流形拓樸最深刻的結構事實。
精確陳述：設 M 為維數 n 的閉（緊、無邊界）定向流形。定向提供一個基本類 [M] 落在 H_n(M; Z)。則與 [M] 取卡積是同構 H^k(M; Z) -> H_{n-k}(M; Z) 對每個 k。對偶地，在域上更為對稱，有一個完全配對 H^k(M) cross H^{n-k}(M) -> H^n(M) = Z，由杯積接著在 [M] 上求值給出；「完全」意指兩個因子都沒有與一切配對為零的類。具體地這就是交截：互補維度的兩個閉鏈在一般位置相交於有限多點，帶符號的計數恰是對偶配對。
諸後果之一：閉定向 n 流形的貝蒂數滿足 b_k = b_{n-k}，一個回文；對二維流形這給出 b_0 = b_2 並從 b_1 恢復虧格。在維數 4m 的閉定向流形上，中間配對 H^{2m} cross H^{2m} -> Z 是一個對稱雙線性形式，即交截形式，其符號差是進入四維流形分類的強大不變量。龐加萊對偶正是使流形遠比一般空間剛硬之物。
假設並非可選，且是慣常的陷阱。閉：帶邊界的流形需要修改過的萊夫謝茨對偶，把絕對上同調與相對上同調配對。定向：沒有定向則整係數陳述失效——Z 上的基本類不存在；退回 Z/2 係數，那裡對偶對所有閉流形成立（模 2 龐加萊對偶）。而它關乎流形，非任意空間：僅有正確貝蒂數的空間並不因此成為流形。每次都說「閉定向」，否則定理根本是假的。
在虧格 g 的閉定向曲面上，龐加萊對偶透過杯積把 H^1 與 H^1 配對進 H^2 = Z。在 H^1 的基 a_1, b_1, ..., a_g, b_g 中，交截形式是標準辛形式：a_i 與 b_i 配對為 1，其餘一切為 0。幾何上迴圈 a_i 與 b_i 恰相交於一點，那就是配對值。
在虧格 g 曲面上，H^1 上的交截形式是標準辛配對。
龐加萊對偶需要流形閉且定向；去掉定向則整係數陳述失效（改用 Z/2 係數），而對帶邊界的流形你需要絕對與相對上同調之間的萊夫謝茨對偶。具有正確的貝蒂數並不使空間成為流形。