屈內特公式（Künneth formula）
/ KEUN-net /
若你知道兩個空間的同調，它們乘積的同調是什麼？答案令人愉快地接近「把它們相乘」——乘積的同調由各因子的同調構成。屈內特公式使此精確，正是它讓環面、球面乘積以及許多測試空間的同調能即刻寫出。
在域 F 上公式很乾淨：H_n(X cross Y; F) 是對所有 p + q = n 的 H_p(X; F) tensor H_q(Y; F) 之直和。所以貝蒂數以生成函數的意義相乘：乘積的龐加萊多項式是各龐加萊多項式之積。在整數上有一個撓項的額外修正：H_n(X cross Y; Z) 落在一個短正合序列中，其左部是對 p + q = n 的 H_p(X) tensor H_q(Y) 之直和，右部是對 p + q = n - 1 的 Tor(H_p(X), H_q(Y)) 之直和。序列非自然地分裂，故在 Z 上乘積的同調是張量積加一個移位的 Tor 修正。
日常用途是計算乘積。n 維環面是 n 個圓的乘積，所以它的同調是圓的同調的 n 重張量冪；結果是 H_k(T^n) 是秩為「n 取 k」（二項式係數）的自由阿貝爾群。上同調中有平行的屈內特公式，在域上它甚至作為環是乘法的：乘積的上同調環是各上同調環的（分次）張量積，所以乘積的杯積結構由各因子確定。
誠實的細則。在域上沒有 Tor 項，日子很簡單；在 Z 上你絕不能忘記撓修正——只要任一因子有撓，宣稱 H_n(X cross Y; Z) 就是張量和便是錯的。分裂又是非自然的。而乾淨的域陳述，如同它所推廣的萬有係數定理，依賴係數構成主理想整環；在一般環上它變成一個譜序列。
二維環面是 S^1 cross S^1。由於 H_*(S^1) 在次數 0 與 1 為 Z，屈內特給出 H_0(T^2) = Z、H_1(T^2) = Z tensor Z 加 Z tensor Z = Z^2、H_2(T^2) = Z tensor Z = Z。更一般地 H_k(T^n) = Z^{(n choose k)}，所以 n 維環面的貝蒂數是二項式係數。
屈內特給出 n 維環面的貝蒂數為二項式係數「n 取 k」。
在域上沒有撓項，但在整數上只要有因子帶撓你就必須納入 Tor 修正——略去它會給出錯誤答案。分裂非自然，而乾淨的形式需要係數是主理想整環。