萬有係數定理（universal coefficient theorem）

一旦你算出了整係數同調，你會想得到任何其他係數的同調或上同調——有理數、有限域，或任何阿貝爾群 G——而不必重做整個計算。萬有係數定理就是這座橋：它把係數在 G 中的同調與上同調純粹用整係數同調群表達，這正是為何整係數同調是「萬有」的起點。

有兩半。對帶係數的同調：H_n(X; G) 落在短正合序列 0 -> H_n(X; Z) tensor G -> H_n(X; G) -> Tor(H_{n-1}(X; Z), G) -> 0 中，其中 Tor 是撓積，度量 G 如何與 H_{n-1} 中的撓相互作用。對上同調：H^n(X; G) 落在 0 -> Ext(H_{n-1}(X; Z), G) -> H^n(X; G) -> Hom(H_n(X; Z), G) -> 0 中，其中 Hom 是對偶，Ext 記錄移了一個次數的撓貢獻。兩個序列都（非典範地）分裂，故中間群作為抽象群是兩端的直和——但分裂並不自然，這在你追蹤映射時很重要。

實用之處時時可見。為得有理上同調，與 Q 張量殺死 Tor 與 Ext（它們對域 Q 消失），故 H^n(X; Q) 就是 Hom(H_n(X; Z), Q)——對偶向量空間，維數等於貝蒂數 b_n。為得模 2 上同調用 G = Z/2，Tor 與 Ext 項可非零，這正是整係數同調中的撓如何作為額外的模 2 類重新浮現。

誠實的微妙處：其一，分裂非自然，故雖然 H^n(X; G) 抽象上是 Hom 加 Ext，連續映射未必尊重該分解——切勿用分裂去追交換圖。其二，定理這個乾淨形式需要係數環是主理想整環（Z、域或 Z/p）；在一般環上 Tor 與 Ext 項被一個譜序列取代。而上同調確實是對偶卻不單純是同調的對偶——Ext 項才是精確的修正。