卡積（cap product）

杯積把兩個上同調類相乘。卡積則是混合運算，讓上同調類作用在同調類上，降低其次數：上鏈吃掉鏈的一部分，留下其餘。它是使龐加萊對偶具體化的橋——與基本類取卡積，正是把流形上的上同調轉成同調的那個映射。

具體地，卡積把 H^p(X; R) 與 H_n(X; R) 配對，產生 H_{n-p}(X; R) 中的類。在鏈上：給定次數 p 的上鏈 alpha 與一個奇異 n 單純形 sigma，alpha cap sigma 是 alpha 作用於 sigma 的前 p 面，乘以 sigma 的後 (n-p) 面作為一個鏈，alpha cap sigma = alpha(sigma 限於 [v_0, ..., v_p]) 乘以 (sigma 限於 [v_p, ..., v_n])。所以上鏈消耗前面的各面，倖存下來的是一個較低維的鏈。一條聯繫邊界、上邊界、杯與卡的萊布尼茲型恆等式保證該運算下降到同調與上同調類，且卡與杯相容：(alpha cup beta) cap z = alpha cap (beta cap z)。

卡積的招牌角色是龐加萊對偶。在閉定向 n 流形 M 上有一個基本類 [M] 落在 H_n(M)，與它取卡積，alpha -> alpha cap [M]，是一個同構 H^p(M) -> H_{n-p}(M)。因此卡積不是稀奇玩意而是對偶的運算心臟：它是那個明確的同構，而不僅是群同構這個抽象斷言。它也給出投影公式，並支撐斜積與交截理論。

關於變性與符號的提醒。卡積以混合方式自然——它滿足投影公式 f_*(f^* alpha cap z) = alpha cap f_*(z) 而非單純的自然性，因為上同調反變而同調共變。如同杯積，有依次數而定的符號要遵守。而取卡積把同調次數降低上同調次數，絕不升高；搞混哪個因子被消耗（前面對後面）是符號與次數錯誤的標準來源。