向量分量（vector components）

畫在紙上的箭很生動，卻難以計算。分量這招把箭化成可加、可縮放、可丟進計算機的數字。想法是：選三個互相垂直的方向——x、y、z 軸——再報出向量沿每個方向伸出多遠。那三個數字「就是」這個向量，意思是它們完全決定了它。

具體地，先架好標準基底箭：i = (1, 0, 0) 沿 x 指一單位，j = (0, 1, 0) 沿 y，k = (0, 0, 1) 沿 z。任何空間向量 v 都可由：沿 i 走 a 單位、再沿 j 走 b、再沿 k 走 c 而達成，故 v = a i + b j + c k，簡寫為 v = (a, b, c)。這裡 a、b、c 就是分量（也稱純量分量）。要從連接 P(p_1, p_2, p_3) 到 Q(q_1, q_2, q_3) 的箭求出分量，把頭減尾：PQ = (q_1 - p_1, q_2 - p_2, q_3 - p_3)。一旦化為分量，大小可由三維畢氏定理求得：|v| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)。

分量讓向量代數變得機械化：兩向量相加就把對應分量相加；乘上一個數就把每個分量都乘上。日後每一條公式——內積、外積、直線方程式——都只是對這些數串的操作配方。一個誠實的提醒：分量取決於你選的軸。把軸旋轉，同一支實體箭就得到不同的一串數字，即使它真正的長度與方向絲毫未動。向量才是那個不變的東西；它的分量只是它在某個座標系裡的地址。