向量（vector）

假設有人叫你「走五公里」——你大概會反問「往哪個方向？」只回答「有多少」的純粹數量叫純量（質量、溫度、長度）。向量則同時回答「有多少」與「往哪走」：它帶著一個大小，也帶著一個方向。最日常的圖像就是一支箭。箭的長度是大小；箭頭所指就是方向。一個推力、一個速度、從一地到另一地的位移——本質上都是向量。

要把向量釘死有兩種互補的方式。幾何上，向量是一段有向線段：從尾點指向頭點的箭。關鍵在於：只有長度與方向要緊，畫在哪裡並不重要——兩支等長且同向的箭就是同一個向量，即使畫在紙面不同處也一樣。我們說向量可以自由平移。代數上，一旦固定座標軸，向量就化為一串分量：在空間中，v = (a, b, c) 記錄「沿 x 走 a 步、沿 y 走 b 步、沿 z 走 c 步」。從原點 O 指向點 P(a, b, c) 的箭，就是一個具體的代表。

向量之所以重要，是因為物理與工程有大量內容由它構成——力、速度、電場與磁場、溫度的梯度。它也讓幾何能用算術來做：不必畫圖，只要把數串相加、相乘縮放即可。為日後學習誠實提醒一點：這裡的向量是普通空間中的具體箭。在線性代數中，「向量」被推廣為任何抽象向量空間的元素（連多項式或函數都能當「向量」）。那種抽象很有威力，卻是另一門課題；在本領域，向量永遠指平面或空間中的有向量。