空間中的距離公式（distance formula in space）

在平面地圖上，你用畢氏定理求兩鎮間的直線距離。到了三維——在東西與南北之外再加上高度——同樣的想法仍適用，只要多納入一項平方差即可。空間中的距離公式，告訴你兩點 P 與 Q 由座標給定時真正的直線間距。

架好三維直角座標系，三條互相垂直的軸 x、y、z 交會於原點 O，每個點都由三元組 (x, y, z) 命名。對 P = (x_1, y_1, z_1) 與 Q = (x_2, y_2, z_2)，距離為 |PQ| = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)。它從何而來？位移 PQ 的分量為 (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)，而距離正是該向量的大小。幾何上你用了兩次畢氏定理：一次在底平面求得水平股，再一次爬上垂直股，兩者合成三個平方差的單一平方根。

這條公式是立體座標幾何的度量骨幹——一旦點化為座標，它就定義了「距離」的意義，並驅動球的方程式（與球心固定距離的所有點）、線段長度，以及全等的判別。它對稱，|PQ| = |QP|，且恆為非負。一個值得言明的提醒：它量度的是穿越空間的直線（歐氏）距離，不是沿著某曲面的路徑——是你飛過去的距離，而非你翻山開車的距離。沿曲面量度的距離是另一個更難的概念，由黎曼幾何處理。