圓的方程式（equation of a circle）
圓是與一個固定中心點保持同一固定距離——半徑——的所有點所成的集合。這句話是幾何定義，而座標幾何把距離公式代入其中，便直接把它化成方程式。所得結果是全數學中最簡潔的方程式之一。
設圓心為 C = (h, k)、半徑為 r。一點 (x, y) 在圓上恰當它到 C 的距離等於 r，即 sqrt((x - h)^2 + (y - k)^2) = r。兩邊平方消去根號，得標準式 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2。反過來讀，它把一切交給你：圓心在 (h, k)——注意減號，故 x - h = 0 表示被減去的數是 h——而半徑是 r = sqrt(右式)。例如 (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 是圓心 (2, -3)（因為 y + 3 = y - (-3)）、半徑 sqrt(25) = 5 的圓。圓心在原點時化簡為 x^2 + y^2 = r^2。
這條方程式讓你立刻判定一點在圓內、圓上還是圓外（比較 (x - h)^2 + (y - k)^2 與 r^2），且與直線乾淨地互動：把直線方程式代入並解二次式，便告訴你線與圓相交的點。一個誠實的提醒：圓不是函數的圖形——多數垂直線與它相交兩次——故你無法把整個圓寫成單一的 y = f(x)；上面的隱式方程式才是對的物件。
寫出圓心 (-1, 4)、通過點 (2, 8) 的圓方程式。半徑即圓心到該點的距離：r = sqrt((2 - (-1))^2 + (8 - 4)^2) = sqrt(9 + 16) = 5。所以方程式為 (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25。
半徑由距離公式得出；接著從標準式直接讀出圓心與 r。
注意正負號：在 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 中圓心是 (h, k)，故 (x + 1)^2 表示 h = -1，而非 +1。且右邊是 r^2 而非 r——半徑 5 時是 25。