系統的參數變易法（variation of parameters for systems）
一旦你能解無強迫的系統 x' = A x，參數變易法便是為任何強迫 g(t) 加碼的萬用方法。它的想法與單一方程奏效的那個巧招相同：取齊次解，它裡頭坐著一個常數，讓那常數變成時間的函數，再解出那函數必須是什麼。你讓參數變動，故得此名。
走一遍。齊次解是 x_h = Phi(t) c，其中 Phi(t) 是基本矩陣（常係數時為 e^(At)），c 是常數向量。要解 x' = A x + g(t)，猜答案具相同形狀但把 c 升格為向量函數：x = Phi(t) u(t)。用乘積法則微分：x' = Phi' u + Phi u'。因 Phi' = A Phi，第一項是 A Phi u = A x，故代入方程後，A x 部分乾淨相消，剩下的是 Phi u' = g(t)。這就是整部引擎：解 u' = Phi^(-1) g(t)，再積分，u(t) = Phi^(-1)(s) g(s) 的積分。特解就是 x_p = Phi(t) 乘以那個積分。這個刻意的猜測，正是被設計成讓除強迫之外的一切相消，恰如積分因子被設計成把左側坍縮成單一導數。
對常係數系統，Phi(t) = e^(At)，Phi^(-1)(s) = e^(-As)，故公式化成矩陣卷積 x_p(t) = 從 t0 到 t 的 e^(A(t - s)) g(s) ds 之積分。這就是杜哈梅公式，且完全一般：它對 g(t) 別無要求，只要可積即可，不必巧猜，不限特殊形式。代價是你得能對 e^(-As) g(s) 積分，它未必有初等原函數；那時答案就以一個誠實的積分形式留存。
要解 x' = A x + g(t)，其中 A = [0, 1; -1, 0]、g(t) = (0, cos t)，用 Phi(t) = e^(At) = [cos t, sin t; -sin t, cos t]。組出 Phi^(-1)(s) g(s)，逐分量積分，再乘以 Phi(t)。相消 Phi u' = g 自動發生；你從不必猜答案的形式，即便強迫 cos t 恰在系統自身頻率上（此處共振使 x_p 出現一個 t 成長項）。
把常數向量 c 升格為函數 u(t)；經設計的相消留下 Phi u' = g，靠一次矩陣求逆與一次積分即可解出。
參數變易法完全一般，但收尾於一個可能無初等形式的積分；對良好的強迫，待定係數法更快，然而唯有參數變易法永遠管用。