矩陣指數（matrix exponential）
/ e to the A t /
想像最簡單的成長律：y' = a y，一個數以正比於自身大小的速率變化。它的解是 y(t) = e^(at) y(0)，把常數 a 餵進指數函數，就能從初值推知整個未來。現在不是一個量，而是好幾個量同時互相牽引：三個相連房間的溫度、相互作用物種的數量、電路中的電流。規則變成 x' = A x，其中 x 是一列數字，A 是一個由速率常數構成的方陣。矩陣指數正是回答那個自然的問題：我們是否仍能直接寫下 x(t) = e^(At) x(0)？答案出人意料地是肯定的。
這個定義完全照搬純量指數。對一個數，e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...。對一個方陣 A，你把數換成矩陣，把 1 換成單位矩陣 I：e^(At) = I + At + (At)^2/2! + (At)^3/3! + ...。每一項都是矩陣（矩陣的冪仍是矩陣），而這個無窮和對任何方陣與任何 t 都收斂。結果 e^(At) 本身是方陣，與 A 同樣大小。有兩個事實使它成為正確的對象：它對 t 的導數是 A e^(At)（把級數逐項微分），而且在 t = 0 時等於 I。因此 x(t) = e^(At) x(0) 滿足 x' = A x 並從 x(0) 出發，正是初值問題的解。
你絕不能把 e^(At) 逐元素計算，彷彿矩陣的每個位置各自取指數，那是錯的，因為矩陣乘法會把行與列混合起來。本領域誠實的實用內容是：級數是乾淨的定義，卻是糟糕的計算器；現實中你透過特徵值與對角化、特徵向量不足時透過約當形（Jordan form）、透過凱萊－哈密頓定理（Cayley-Hamilton theorem）與普策爾算法（Putzer's algorithm），或透過拉普拉斯變換來求 e^(At)。級數是意義所在，那些則是方法所在。
設 A = [0, 1; -1, 0]，這是系統 x' = y、y' = -x（簡諧振子）的矩陣。展開級數，At 的偶次冪在 I 與 -I 之間循環，奇次冪在旋轉片段之間循環，這兩個子級數恰好是餘弦與正弦的泰勒級數。其和為 e^(At) = [cos t, sin t; -sin t, cos t]，即旋轉角度 t 的旋轉矩陣。所以這個 A 的矩陣指數實實在在地在轉動平面，這正是它的解繞圈的原因。
e^(At) 不一定長得像指數，對旋轉型的 A，它會化成正弦與餘弦，因為複數特徵值把三角函數藏在指數之內。
切勿逐元素對矩陣取指數，e^(At) 由冪級數定義，而非對每個位置套用 e^x，兩者幾乎從不相等。