齊次線性方程組（homogeneous linear system）

在處理一個被某種外部輸入推動的方程組之前，你先研究它被獨自放著的樣子，關掉一切外部來源，看它自己如何運動。那個無驅動、自成一體的版本，就是齊次線性方程組，而它正是整個問題的核心。

它是沒有輸入項的線性方程組：x' = A(t) x，在常係數情形下就是乾淨的 x' = A x。沒有了 g(t)，零向量 x = 0 永遠是一個解（從靜止出發，就永遠保持靜止），這是方程組的平衡點。更深的事實是疊加性：如果 x_a(t) 與 x_b(t) 都是解，那麼任何組合 c1 x_a(t) + c2 x_b(t) 也是解。於是解構成一個向量空間，而對一個 n 維方程組，這個空間恰好是 n 維的。所以求解齊次方程組，就是找出 n 個獨立的解；其他每一個解都是它們的線性組合。

齊次方程組之所以重要有兩層。第一，常係數情形 x' = A x 由 A 的特徵值與特徵向量完全求解，直線解、複數振盪與廣義特徵向量都住在這裡。第二，齊次解是每一個受迫問題的一半：x' = A x + g(t) 的通解，就是一個特解加上整個齊次解族。把齊次方程組掌握好，受迫的那個就只差一小步。